复合函数求偏导

的偏导数分别为 上述两个公式也称为链式法则。注意 如果只是求复合函数 关于 或 的偏导数,则定理1中 和 只需具有关于 或 的偏导数就够了。但是对外函数 的可微性假设是不能省略的,否则上述复合函数求导公式不一定成

复合函数求导的前提:复合函数本身及所含函数都可导。法则1:设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x);法则2:设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);应用举例 1、求:函数f

设 是通过中间变量 而成为 的函数,即其中 。若函数 都具有连续的二阶偏导数,则作为复合函数的 对 同样存在二阶连续偏导数。具体计算如下:显然 与 仍是 的复合函数,其中 是 的函数, 是 的函数。继续求 关于 的二阶偏导数

链式法则是求复合函数的导数(偏导数)的法则,若 I,J 是直线上的开区间,函数 f(x) 在 I 上有定义 处可微,函数 g(y) 在 J 上有定义 ,在 f(a) 处可微,则复合函数 在 a 处可微 ( 在 I 上有定义),且

即:典例 例1 z=f(x,y)有连续的偏导数,,求复合函数的全导数。解:由二一型全导数锁链法则,计算得到:例2 ,求复合函数的全导数。解:外层函数显含自变量s,由一一型全导数锁链法则,计算得到:

换言之,函数若在某点可导,则必然在该点处连续。可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导。例子 欲求函数 在x=3处的导数。可以先求出其导函数:其中第二项使用了复合函数的求导法则,而第三项则使用了乘积的求导法则。求出

3、复合函数的导数:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数(称为链式法则)。4、变限积分的求导法则:(a(x),b(x)为子函数)导数的计算 计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用

,由对数函数换底公式可得 ;由反函数导数关系可得 ,由指数函数换底公式得 。④、⑤、⑥如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况,但 的导函数为 和y=lnx的导函数 ,根据复合函数的求导规则可以

对数导数的定义设函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义,当自变量x在x0处有改变量△x(△x可正可负),则函数y相应地有改变量△y=f(x0+△x)-f(x0),这两个改变量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的平均变化率。

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