偏导数存在的充要条件

偏微分方程理论研究一个方程(组)是否有满足某些补充条件的解(解的存在性),有多少个解(解的惟一性或自由度),解的各种性质以及求解方法等等,并且还要尽可能地用偏微分方程来解释和预见自然现象以及把它用之于各门科学和工程技术

存在唯一性定理 若函数 满足下列条件:(i) F 在以 为内点的某一区域 上连续 (ii) (通常称为初始条件)(iii) F在D内存在连续的偏导数 (iv)则 1° 存在点 的某领域 ,在 上方程 唯一地决定了一个定义在某区间

差分格式的解的存在性和惟一性,有时并不显然,需要论证。解的求法和解法的数值稳定性也需要研究。此外,还要估计差分问题的解与微分问题的解的差别,研究在网格步长趋于零时前者对后者的收敛性以及差分问题的解是否连续地依赖于初值,即

的全微分,记作 由(2)(3)可见 是 的线性主部,特别当 充分小时,全微分 可作为全增量 的近似值,即 定理2(可微的必要条件)若二元函数f在其定义域内一点 可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且(2

可微条件 必要条件 若函数在某点可微分,则函数在该点必连续;若二元函数在某点可微分,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。充分条件 若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。

定理1(必要条件): 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必然为零 fx(x0,y0) = 0,fy(x0,y0) = 0。定理2(充分条件): 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)

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