偏导数连续必可微

的所有连续函数可以记为 。这样结合前面那个高阶连续可微的递归定义,可以得到连续可微的另外一个等价定义: 是从 到 的连续可微映射,那指的是 的所有偏导数存在且连续。 [1] 克莱罗定理(n阶)设

可微条件 必要条件 若函数在某点可微分,则函数在该点必连续;若二元函数在某点可微分,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。充分条件 若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。

f",f",f",f"。注意:f"与f"的区别在于:前者是先对 x 求偏导,然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导;后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时,求导的结果与先后次序无关。

注意 偏导数连续并不是函数可微的必要条件,如函数 在原点 可微,但 与 却在点 不连续。若 在点 的偏导数 连续,则称f在点 连续可微。多元函数的可微性 类似地可定义n元函数 在点 可微的概念。定义3 设

如果一个函数的所有偏导数在某点的邻域内存在且连续,那么该函数在该点可微,而且是classC。(这是可微的一个充分不必要条件) 形式上,一个多元实值函数f:R→R在点x0处可微,如果存在线性映射J:R→R满足

设Ω是自变数空间R中一个区域,u是在这个区域上定义的具|α|阶连续导数的函数。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立,那么就称u是该方程在Ω中的一个经典意义下的解,简称为经典解。在不致误会的情况下,就称为解。偏微分方程理论

对于多元函数来说,若其一阶偏导数仍是关于每个自变量的函数,并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数也存在,则说这个多元函数具有二阶偏导数。以此类推,有三阶偏导数,四阶偏导数等,我们把一阶以上的偏导数称为高阶偏导数。

必存在,且函数z = f (x, y)在点(x,y)的全微分为:判别可微方法 (1)若f (x,y)在点(x0, y0)不连续,或偏导不存在,则必不可微;(2)若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微;(3)检查 是否为

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